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二分查找

探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界

二分查找框架

js
function binarySearch(nums, target) {
	let left = 0
	let right = ...
	while(...) {
		const mid = Math.floor(left + (right - left) / 2)
		if(nums[mid] === target) {
			...
		} else if(nums[mid] < target) {
			left = ...
		} else if(nums[mid] > target) {
			right = ...
		}
	} 

	return ...
}

分析二分查找技巧 不要出现else,而是把所有情况用else if 写清楚，这样可以清楚的展示所有细节。

Math.floor(left + (right - left) / 2)其实和Math.floor((left +right)/2)的结果是一样的。如果left和right很大的时候，相加会导致移除。Math.floor(left + (right - left) / 2)可以有效的防止溢出。

寻找一个数

js
var search = function (nums, target) {
  let left = 0;
  let right = nums.length - 1;
  while (left <= right) {
    const mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);
    if (nums[mid] === target) {
      return mid;
    } else if (nums[mid] > target) {
      right = mid - 1;
    } else if (nums[mid] < target) {
      left = mid + 1;
    }
  }
  return -1;
};

力扣第704题二分查找 这题是二分查找最简单的题型，几乎所有的二分查找的题型都是根据这个拓展的。

我们首先考虑的是搜索区间。因为定义的right为nums.length - 1，所以搜索区间为[left, right]两端都闭。当查找到了目标元素，则停止搜索退出循环，然后返回目标值对应的索引。

当没有找到目标元素，循环的终止条件为left === right + 1的时候，直接返回-1即可。

缺陷

如果给你个有序数组nums = [1,2,2,2,3],target为2，此时用上面的方法返回的索引是2。如果我们想得到的target的在nums中最左边满足条件的值，或者最右边满足条件的值，这种方法就有问题了。

可能会想到，当找到了target的值，然后向左，向右做线性搜索。但是这样就很难保证二分查找对数级的复杂度了。

寻找最左边满足条件的值

方式一

js
function leftBound(nums, target) {
  let left = 0;
  let right = nums.length;

  while (left < right) {
    const mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);
    if (nums[mid] === target) {
      right = mid;
    } else if (nums[mid] < target) {
      left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] > target) {
      right = mid;
    }
  }

  if (left === num.length) return -1;
  return nums[left] === target ? left : -1;
}

上面是一种比较常见的代码形式。但是和我们刚开始的框架是可以匹配的。在这里while中使用的<，而不是<=。因为我们在定义right的时候，是nums.length而不是nums.length-1。那就说明我们的搜索区间是在[left,right)左闭右开。所以终止条件就是当left == right的时候。

还会发现一个不一样的地方，right = mid而不是right = mid - 1，这个还是受上面的搜索区间的影响。因为搜索区间为[left,right)左闭右开,所以当nums[mid]被检测到的时候，下一步应该缩小搜索区间。当nums[mid] === target的时候，虽然已经找到了target的值，但是不要立即返回，而是缩小搜索区间为[left, mid)。然后不断的向左边收缩，直到锁定左侧边界，也就是当left == right的时候。

最后，考虑下越界情况，当left的值为nums.length的时候说明查找左侧边界已经超出了搜索区间，说明target的值比所有数都大。当left的值为target的时候，说明找到了直接返回即可。然后其实返回left和返回right都一样，因为我们的终止条件是left == right。

方式二

js
function leftBound(nums, target) {
  let left = 0;
  let right = nums.length - 1;
  while (left <= right) {
    const mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);
    if (nums[mid] < target) {
      left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] > target) {
      right = mid - 1;
    } else if (nums[mid] === target) {
      right = mid - 1;
    }
  }

  if (left >= nums.length || nums[left] != target) {
    return -1;
  }

  return left;
}

方式一的搜索区间为[left, right)。我们方式二的搜索区间改为[left, right]左闭右闭。因为right的取值为nums.length - 1是nums的最后一个值。while的终止条件则为left == right + 1,也就是代码中用的<=。

此时right = mid - 1而不是right = mid， 因为搜索区间变了，[left,right]两边都闭。

最后判断一下边界条件，如果left >= nums.length说明已经超出了搜索区间，或者呢left的值和target不一样说明没找到。

这样就和第⼀种⼆分搜索算法统⼀了，都是两端都闭的搜索区间，⽽且最后返回的也是left 变量的值。不过我还是比较倾向于这种。哈哈。

寻找最右侧满足条件的值

方式一

js
function rightBound(nums, target) {
  let left = 0;
  let right = nums.length;
  while (left < right) {
    const mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);
    if (nums[mid] === target) {
      left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] < target) {
      left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] > target) {
      right = mid;
    }
  }
  if (left === 0) return -1;
  return nums[left + 1] === target ? left - 1 : -1;
}

这种方式和寻找左侧边界类似，还是使用搜索区间为[left, right)左闭右开的方式。关键的点在于当nums[mid]=== target的时候，设置的是left=mid+1。这样就可以把搜索区间变为[mid+1, right)。利用这种方式不断的增大左边界left的值，是的区间不断的向右靠拢，最后到达右边界。

但是这种方式最后返回的是left - 1。因为while的终止条件是left === right ,此时循环已经退出，如果已经找到了，那么left的则比要锁定的目标索引多1。因为下面这段代码

js
if(nums[mid] === target) {
	left = mid + 1
}

所以最后的目标值要left - 1

方式二

js
function rightBound(nums, target) {
  let left = 0;
  let right = nums.length - 1;
  while (left <= right) {
    const mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);
    if (nums[mid] === target) {
      left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] < target) {
      left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] > target) {
      right = mid - 1;
    }
  }

  if (right < 0 || nums[right] !== target) {
    return -1;
  }
  return right;
}

这里和类似左侧边界的搜索区间[left, right]左闭右闭。